11 Die $\chi^{2}$ -Verteilung

Diese Verteilung nach K. Pearson mit dem ganzzahligen Parameter $f>0$ (Freiheitsgrad) ist durch $$\begin{equation} G(x)=\frac{1}{2^{\frac{f}{2}}\mathit{\Gamma}\left(\frac{f}{2}\right)}\intop_{-\infty}^{x}\,\mathrm{d}t\,t^{\frac{f}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}\label{eq:URE:Zufallszahlen:ChiQuadratVerteilung} \end{equation}$$ und die Dichtefunktion $$\begin{eqnarray*} g(x) & = & \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{f}{2}}\mathit{\Gamma}\left(\frac{f}{2}\right)}\,x^{\frac{f}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} & ,\;x>0\\ 0 & ,\;x\leq0 \end{cases} \end{eqnarray*}$$ gegeben. Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ ist gegeben durch $$\mathrm{E}X=f$$ und die Varianz durch $$\mathrm{var}(X)=2f.$$ Formal gleicht sie der Gamma-Verteilung mit den Parametern $\alpha=\frac{f}{2}$ und $\lambda=\frac{1}{2}$ . Betrachtet man die Summe $$y=\chi^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}$$ der $n$ Standard-normal-verteilten Zufallszahlen $X_{1},X_{2},\ldots X_{n}$ , dann ist diese $\chi^{2}$ -verteilt mit dem Parameter $f=n$ . Wegen $$p(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$$ und durch Dimensionsreduktion erhält man für $y\geq0$ unter Verwendung der Variablentransformation $x_{i}=\sqrt{y\,z_{i}}$ für $i=1,\ldots,n$  und der Eigenschaft $\delta(ax)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta(x)$ $$\begin{eqnarray*} p_{n}(y) & = & \intop_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}^{n}x\,\delta\left(y-\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\,p(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\\ & = & \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y}}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}^{n}x\,\delta\left(y-\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\\ & = & \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y}}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}\,y^{\frac{n}{2}-1}\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n}z\,\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{z_{i}}}\,\delta\left(1-\sum_{i=1}^{n}z_{i}\right)\\ & = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\mathit{\Gamma}\left(\frac{n}{2}\right)}\,y^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y}. \end{eqnarray*}$$ Von der vorletzten Zeile zum endgültigen Ergebnis wurde für das Integral das Ergebnis $$\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n}z\,\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{z_{i}}}\,\delta\left(1-\sum_{i=1}^{n}z_{i}\right)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$$ verwendet. Analog lässt sich auch für den allgemeineren Ausdruck $$\begin{equation} \chi^{2}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}_{i}\right)^{2}\label{eq:URE:Zufallszahlen:ChiQuadratVerteilung:Summe} \end{equation}$$ von $n$ mit $N(\mu,\sigma^{2})$ -verteilten Zufallszahlen $X_{i}$ die $\chi^{2}$ -Verteilung angeben. Es kann hiermit getestet werden, ob eine solche Stichprobe mit $\sigma^{2}$ streut.