5 Cauchy-Verteilung (Lorentz-Verteilung)

Diese Verteilung mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma\in\mathbb{R}^{+}$ ist für Werte $x\in\mathbb{R}$ definiert und besitzt die Dichte $$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^{2}+(x-\mu)^{2}}$$ sowie die Verteilungsfunktion $$F(x)=\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{x}\mathrm{d}t\,\frac{\sigma}{\sigma^{2}+(t-\mu)^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan\frac{x-\mu}{\sigma}.$$ Die Cauchy-Verteilung sind der Erwartungswert und die höheren Momente nicht definiert, wie leicht zu zeigen ist. Von Bedeutung ist diese Verteilung z. B. zur Beschreibung von Spektrallinien (Resonanzen) mit der Halbwertsbreite $h=2\sigma$ . Der halbe Wert des Funktionsmaximums $\frac{1}{2\pi\sigma}$ wird für $x_{\frac{1}{2}}=\sigma$ angenommen. Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion beträgt die Breite $h=2x_{\frac{1}{2}}=2\sigma$ . Cauchy-verteilte Zufallszahlen $\xi$ lassen sich einfach durch die inverse Verteilungsfunktion aus den in $[0,1)$ gleichverteilte Zufallszahlen $\eta$ berechnen $$\xi=\mu+\sigma\tan\pi\left(\eta-\frac{1}{2}\right).$$ Die so erzeugten Zufallszahlen sind aber mit der Transformation $\eta\rightarrow1-\eta$ äquivalent zu $$\xi=\mu+\sigma\cot\pi\eta.$$