7 Die Gammaverteilung

Die Gammaverteilung mit den Parameter $\lambda\in\mathbb{R}^{+}$ und $\alpha\in\mathbb{R}^{+}$ ist eine stetige Verteilung der Zufallsgröße $X$ mit Werten $x\in\mathbb{R}^{+}$ und wird durch $$\begin{equation} F(x)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\mathit{\Gamma}(\alpha)}\intop_{0}^{x}\mathrm{d}t\,t^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda t}\label{eq:URE:Zufallszahlen:Gammaverteilung} \end{equation}$$ definiert mit der namensgebenden Gamma-Funktion $\mathit{\Gamma}(\alpha)=\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-x}$ . Die besitzt die Dichte $$f(x)=\lambda\frac{(\lambda x)^{\alpha-1}}{\mathit{\Gamma}(\alpha)}\,\mathrm{e}^{-\lambda x}.$$ Für den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ erhält man $$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}X & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x\lambda\frac{(\lambda x)^{\alpha-1}}{\mathit{\Gamma}(\alpha)}\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\\ & = & \frac{\mathit{\Gamma}(\alpha+1)}{\lambda\mathit{\Gamma}(\alpha)}\\ & = & \frac{\alpha}{\lambda} \end{eqnarray*}$$ und für die höheren Momente allgemeiner $$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}X^{n} & = & \frac{1}{\lambda^{n}}\frac{\mathit{\Gamma}(\alpha+n)}{\mathit{\Gamma}(\alpha)}, \end{eqnarray*}$$ und die Varianz beträgt $$\mathrm{var}(X)=\frac{\alpha}{\lambda^{2}}.$$ Für ganze Zahlen $\alpha=n>0$ erhält man die Gammaverteilung mittels Dimensionsreduktion. Derart verteilte Zufallszahlen mit Werten $y$ können aus der $n$ -fachen Addition exponentiell verteilter Zufallszahlen mit den Werten $x_{i}^{(\lambda)}$ und dem Parameter $\lambda$ durch $y=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{(\lambda)}$ bzw. aus den in $[0,1)$ gleichverteilte Zufallszahlen mit den Werten $z_{i}$ durch $$y=-\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{n}\ln z_{i}=-\frac{1}{\lambda}\ln\prod_{i=1}^{n}z_{i}$$ erzeugt werden. Denn für die $n$ unabhängigen Zufallszahlen $X_{i}$ ($i=1,\ldots,n$ ) mit gleicher Dichte $p(x_{i})=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x_{i}}$ gilt $$\begin{eqnarray*} p_{n}(y) & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n}x\,\delta(y-\sum_{i=1}^{n}x_{i})\,p(x_{1})p(x_{2})\cdots p(x_{n})\\ & = & \lambda^{n}\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n}x\,\delta\left(y-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\mathrm{e}^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\\ & = & \lambda^{n}\mathrm{e}^{-\lambda y}\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n}x\,\delta\left(y-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\\ & = & \frac{\lambda(\lambda y)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{\,e}^{-\lambda y}. \end{eqnarray*}$$ Im letzten Schritt wurde für das Integral $$\begin{eqnarray*} \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n}x\,\delta\left(y-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n-1}x\cdots\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}x_{n}\,\delta\left(\left(y-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}\right)-x_{n}\right)\\ & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n-1}x\,\mathit{\Theta}\left(y-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}\right)\\ & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n-2}x\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}x_{n-1}\,\mathit{\Theta}\left(y-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}\right)\\ & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n-2}x\mathit{\,\Theta}\left(y-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}\right)\intop_{0}^{y-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}}\mathrm{d}x_{n-1}\\ & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n-2}x\,\left(y-\sum_{i=1}^{n-2}x_{i}\right)\mathit{\Theta}\left(y-\sum_{i=1}^{n-2}x_{i}\right)\\ & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}^{n-3}x\frac{\left(y-\sum_{i=1}^{n-3}x_{i}\right)^{2}}{2!}\mathit{\Theta}\left(y-\sum_{i=1}^{n-3}x_{i}\right)\\ & \vdots\\ & = & \intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}x_{1}\frac{\left(y-x_{1}\right)^{n-2}}{(n-2)!}\mathit{\Theta}\left(y-x_{1}\right)\\ & = & \intop_{0}^{y}\mathrm{d}x_{1}\frac{\left(y-x_{1}\right)^{n-2}}{(n-2)!}\\ & = & \frac{y^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$$ verwendet. Dabei ist $\mathit{\Theta}$ die Heavisideschen Sprungfunktion, welche sich durch $\Theta(a)=\intop_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,\delta\left(a-x\right)$ darstellen läßt. Praktisch ist das Additionsverfahren aber nur für kleine Werte $n$ .