9 Die Fisher-Verteilung ($F$ -Verteilung)

Dies ist eine Verteilung mit den beiden ganzzahligen Parametern $f_{1}>0$ und $f_{2}>0$ (Freiheitsgrade) besitzt für Werte $x\in\mathbb{R}^{+}$ die Dichtefunktion $$g(x)=\frac{f_{1}^{\frac{f_{1}}{2}}f_{2}^{\frac{f_{2}}{2}}}{B\left(\frac{,f_{1}}{2},\frac{f_{2}}{2}\right)}\,\frac{x^{\frac{f_{1}}{2}-1}}{(f_{1}x+f_{2})^{\frac{f_{1}+f_{2}}{2}}}$$ und die Verteilungsfunktion $$F(x)=\frac{f_{1}^{\frac{f_{1}}{2}}f_{2}^{\frac{f_{2}}{2}}}{B\left(\frac{,f_{1}}{2},\frac{f_{2}}{2}\right)}\,{\displaystyle \intop_{0}^{x}\mathrm{d}t\,}\frac{t^{\frac{f_{1}}{2}-1}}{(f_{1}t+f_{2})^{\frac{f_{1}+f_{2}}{2}}}.$$ Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ beträgt $$\mathrm{E}X=\frac{f_{2}}{f_{2}-2},\;f_{2}>2$$ und die Varianz $$\mathrm{var}(X)=\frac{2f_{2}^{2}(f_{1}+f_{2}-2)}{f_{1}(f_{2}-2)^{2}\left(f_{2}-4\right)},\;f_{2}>4.$$ Die $F$ -Verteilung lässt sich mit der Substitution $t=\frac{f_{2}}{f_{1}}\,\frac{s}{1-s}$ ($s=\frac{f_{1}t}{f_{1}t+f_{2}}$ ) in die Beta-Verteilung mit den Parametern $a=\frac{f_{1}}{2}$ und $b=\frac{f_{2}}{2}$ transformieren.